Quando você fala da sua família, precisa o tempo todo dizer meu pai, minha mãe, meu irmão, sua irmã. É exatamente isso que os pronomes possessivos fazem em alemão: mein, dein, sein, ihr, unser, euer. Mas eles funcionam de um jeito fundamentalmente diferente do de muitas outras línguas, então vamos construir a ideia passo a passo.
Em algumas línguas, a posse é mostrada acrescentando uma terminação diretamente ao próprio substantivo, de modo que o possuidor e o substantivo se fundem numa só palavra. O alemão nunca faz isso. O possessivo é sempre uma palavra separada colocada antes do substantivo, como em mein Vater (meu pai, literalmente "meu pai" em duas palavras). Guarde bem essa primeira regra: em alemão são sempre duas palavras separadas.
O segundo ponto, mais complicado, é que um possessivo alemão tem, na verdade, duas partes. A primeira parte é o radical, e depende de quem é o dono: eu dá mein, tu/você dá dein, ele dá sein, ela dá ihr, nós dá unser, vocês dá euer. A segunda parte é a terminação, e é essa parte que confunde os aprendizes, porque a terminação muda conforme o gênero e o caso da coisa possuída — o substantivo que vem depois — e não conforme o dono.
Por exemplo: mein Vater não tem terminação nenhuma, porque Vater é masculino. Mas meine Mutter acrescenta -e, porque Mutter é feminino. Repare que mein em si não mudou, porque quem fala continua sendo "eu" — o que mudou foi o gênero do objeto possuído. E se esse substantivo masculino se tornar objeto direto (caso acusativo), por exemplo depois de um verbo como "amar", a terminação muda de novo para -en: Ich liebe meinen Bruder.
Um detalhe que vale destacar: a palavra ihr abrange três significados diferentes conforme o contexto — dela, deles/delas, ou até de vocês (plural, informal). Não existe uma forma separada para distingui-los; só a frase inteira diz qual deles se quer dizer.
Um erro muito comum é esquecer totalmente a terminação e dizer mein Mutter em vez de meine Mutter, porque o possessivo dá a impressão de que "não deveria" mudar. A solução: verifique sempre primeiro o gênero da coisa possuída e então escolha a terminação que combina com ele — nunca o gênero do dono.