Cuando hablas de tu familia, constantemente necesitas decir mi padre, mi madre, mi hermano, tu hermana. Eso es exactamente lo que hacen los pronombres posesivos en alemán: mein, dein, sein, ihr, unser, euer. Pero funcionan de una manera fundamentalmente distinta a la de muchas otras lenguas, así que construyamos la idea paso a paso.
En algunas lenguas, la posesión se muestra pegando una terminación directamente al propio sustantivo, de modo que el poseedor y el sustantivo se funden en una sola palabra. El alemán nunca hace esto. El posesivo es siempre una palabra separada colocada delante del sustantivo, como en mein Vater (mi padre, literalmente "mi padre" en dos palabras). Ten muy presente esta primera regla: en alemán son siempre dos palabras separadas.
El segundo punto, más complicado, es que un posesivo alemán tiene en realidad dos partes. La primera parte es la raíz, y depende de quién sea el poseedor: yo da mein, tú da dein, él da sein, ella da ihr, nosotros da unser, ustedes da euer. La segunda parte es la terminación, y es la parte que hace tropezar a los estudiantes, porque la terminación cambia según el género y el caso de lo poseído — el sustantivo que sigue — y no según el poseedor.
Por ejemplo: mein Vater no lleva ninguna terminación, porque Vater es masculino. Pero meine Mutter añade -e, porque Mutter es femenino. Nota que mein en sí no cambió porque el hablante sigue siendo "yo" — lo que cambió es el género del objeto poseído. Y si ese sustantivo masculino pasa a ser el objeto directo (caso acusativo), por ejemplo tras un verbo como "amar", la terminación cambia otra vez a -en: Ich liebe meinen Bruder.
Un detalle que vale la pena señalar: la palabra ihr abarca tres significados distintos según el contexto — su (de ella), su (de ellos), o incluso su (de ustedes, plural informal). No hay una forma separada para distinguirlos; solo la oración completa te dice cuál se quiere decir.
Un error muy común es olvidar la terminación por completo y decir mein Mutter en lugar de meine Mutter, porque el posesivo da la sensación de que "no debería" cambiar. La solución: comprueba siempre primero el género de lo poseído, y luego elige la terminación que le corresponde — nunca el género del poseedor.